Antal nollställen tredje grad
En ekvation, där största exponent för variabeltermerna är talet tre, kallas för en tredjegradsekvation. Den tillhör polynomekvationerna och är, som avslöjas av namnet, av graden tre.
Tredjegradsekvationen i allmän form
$ax^3+bx^2+cx+d=0$3+2++=0
där $a$ , $b$ , $c$ och $d$ alla är konstanter.
Så ser du en ekvation, där $x^3$3 finns med och ingen variabelterm med ett större tal i exponenten, så är det helt enkelt en tredjegradsekvation.
En tredjegradsekvation har tre lösningar. Men lösningarna kan sammanfalla, alltså vara identiska, vilket gör att de ser ut som bara en eller två lösningar. De kallas då för en trippel- eller dubbelrot.
Viktigt att observera är följande. Det som ser ut att vara en trippelrot grafiskt, kan vara en tredjegradsekvation där en av rötterna är reell och de andra två komplexa.Om ekvationen endast har reella koefficienter är alltid antingen en av lösningarna, eller rötterna som de också kallas, eller alla trereella lösningar. Vi kan alltså inte ha två reella och en komplex lösning. Ekvationen har då i stället en dubbelrot, alltså reella rötter där två av dem sammanfaller.
Det finns tyvärr ingen enkel formel för att
Vad kul att du har hittat ett intressant mönster! Ja, det finns verkligen ett samband här, det är som Wozaah påpekade en viktig sats känd som algebrans fundamentalsats. Den säger att varje polynomekvation av grad n har som mest n olika komplexa rötter. (Eller man kan säga att det alltid finns exakt n rötter, om man räknar en dubbelrot som 2 rötter.)
Observera att (vissa av) rötterna kan vara komplexa tal; ibland finns inga reella rötter alls, men det finns alltid komplexa. Det är en viktig anledning till att det är trevligt att ha komplexa tal, de gör lösningen av polynomekvationer mer systematisk! Om vi inte tillåter komplexa tal så "bryts mönstret" och det blir inte lika snyggt.
Det finns en till egenskap för polynom med reella koefficienter: de har egenskapen att alla komplexa rötter uppträder i "konjugatpar", a + bi och a - bi. Alltså, om det komplexa talet a +bi är en rot till ett sådant polynom, så är också a - bi en rot. Av detta ser man att antalet komplexa rötter alltid är jämnt, och därför måste polynom av udda grad alltid ha minst en reell rot!
Man kan också bevisa detta lite mer "elementä
Polynomfunktioner
Nu ska oss gå igenom grafers utseende för olika funktioner.
En förstagradsfunktion har ständigt en graf som existerar en rät linje, medan en andragradsfunktions graf ständigt är ett parabel. oss kan ifall vi önskar beteckna polynomfunktioner med \(p(x)\) men kommer oftast välja \(f(x)\).
En från de polynomfunktioner som oss sett tidigare är ett förstagradsfunktion
$$p(x)=2x+1$$
Denna funktions graf utgörs mycket riktigt av ett rät linje:
Ett annat modell på polynomfunktion är denna andragradsfunktion:
$$p(x)=x^{2}-6x+5$$
Denna funktions graf ser ut således här:
Nu bör vi titta närmare vid egenskaper hos polynomfunktioner även med högre gradtal än två.
Ett modell på ett polynomfunktion från tredje graden är
$$ f(x)=x^{3}+3x^{2}+2x$$
Ett polynoms grad har massiv betydelse på grund av grafens utseende, vilket oss kan titta om oss jämför graferna för funktionen av inledande graden samt funktionen från andra graden. Här nedan ser ni hur denna tredjegradsfunktions graf ser ut:
En förstagradsfunktion, vars graf utgörs av ett rät linje, har ständigt exakt en nollställe, vilket är var linjen skär x-axeln.
Som oss kom fram till inom ett tidigare avsnitt är kapabel andragradsfunktioner äga anting